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    2021中考數學壓軸題專題訓練12二次函數的綜合(附解析)

    2021-09-141 9.99元 29頁 938.85 KB
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    二次函數的綜合1.如圖,直線過軸上一點,且與拋物線相交于,兩點,點的坐標為.(1)求直線的表達式及拋物線的表達式.(2)求點的坐標.(3)點在直線上,點在拋物線上,若,直接寫出的取值范圍.(4)若拋物線上有一點(在第一象限內),使得,直接寫出點的坐標.【解析】解:(1)設直線的解析式為,把,代入得,解得所以直線的解析式為;把代入得,所以拋物線解析式為;(2)解方程組得或,,所以(3)觀察圖象,當拋物線在直線的下方時,滿足,即(4)設,,,解得或(舍去),.2.已知拋物線的圖象與軸相交于點和點,與軸交于點,圖象的對稱軸為直線.連接,有一動點在線段上運動,過點作軸的垂線,交拋物線于點,交軸于點.設點的橫坐標為.(1)求的長度;(2)連接、,當的面積最大時,求點的坐標;(3)當為何值時,與相似.【解析】(1)∵對稱軸,∴,,∴當時,,解得,,即,,∴.(2)經過點和的直線關系式為,∴點的坐標為.在拋物線上的點的坐標為,∴,∴,當時,的最大值是,∴點的坐標為,即,(3)連,情況一:如圖,當時,,當時,,解得,,∴點的橫坐標為-2,即點的橫坐標為-2,∴,情況二:∵點和,∴,即.如圖,當時,,,即為等腰直角三角形,過點作,即點為等腰的中線,∴,,∴,即,解得,(舍去)綜述所述,當或-2時,與相似.,3.如圖,在平面直角坐標系中,己知二次函數的圖像與y軸交于點B(0,4),與x軸交于點A(-1,0)和點D.(1)求二次函數的解析式;(2)求拋物線的頂點和點D的坐標;(3)在拋物線上是否存在點P,使得△BOP的面積等于?如果存在,請求出點P的坐標?如果不存在,請說明理由.【解析】解:(1)把點A(-1,0)和點B(0,4)代入二次函數中得:解得:所以二次函數的解析式為:;(2)根據(1)得點D的坐標為(3,0),=,,∴頂點坐標為(1,);(3)存在這樣的點P,設P的坐標為P(x,y),到y軸的距離為∣x∣∵S△BOP=•BO•∣x∣∴=×4•∣x∣解得:∣x∣=所以x=±把x=代入中得:即:y=,把x=-代入中得:即:y=-∴滿足條件的點P有兩個,坐標分別為P1(,)、P2().4.已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,點D為OC中點,點P在拋物線上.(1)直接寫出A、B、C、D坐標;(2)點P在第四象限,過點P作PE⊥x軸,垂足為E,PE交BC、BD于G、H,是否存在這樣的點P,使PG=GH=HE?若存在,求出點P坐標;若不存在,請說明理由.(3)若直線y=x+t與拋物線y=x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點,直接寫出t的取值范圍.,【解析】解:(1)在y=x2﹣2x﹣3中,當x=0時,y=﹣3;當y=0時,x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),∵D為OC的中點,∴D(0,﹣);(2)存在,理由如下:設直線BC的解析式為y=kx﹣3,將點B(3,0)代入y=kx﹣3,解得k=1,∴直線BC的解析式為y=x﹣3,設直線BD的解析式為y=mx﹣,將點B(3,0)代入y=mx﹣,解得m=,∴直線BD的解析式為y=x﹣,,設點P的坐標為(x,x2﹣2x﹣3),則E(x,0),H(x,x﹣),G(x,x﹣3),∴EH=﹣x+,HG=x﹣﹣(x﹣3)=﹣x+,GP=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,當EH=HG=GP時,﹣x+=﹣x2+3x,解得x1=,x2=3(舍去),∴點P的坐標為(,﹣);(3)當直線y=x+t經過點B時,將點B(3,0)代入y=x+t,得,t=﹣1,當直線y=x+t與拋物線y=x2﹣2x﹣3只有一個交點時,方程x+t=x2﹣2x﹣3只有一個解,即x2﹣x﹣3﹣t=0,△=()2﹣4(﹣3﹣t)=0,解得t=﹣,∴由圖2可以看出,當直線y=x+t與拋物線y=x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點時,t的取值范圍為:﹣<t<﹣1時.,5.已知:如圖,拋物線與坐標軸分別交于點,,,點是線段上方拋物線上的一個動點.(1)求拋物線解析式;(2)在拋物線的對稱軸上找一點,使的值最小,求出點M的坐標;(3)當點運動到什么位置時,的面積最大?【解析】解:(1)把,代入拋物線得:,解得:,∴拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3;(2)由題意可得:拋物線的對稱軸為直線,點,要使的值最小,對稱軸直線x=-1與線段AB的交點即為所求點M,,設直線AB的解析式為:,把點A和點B的坐標代入,解得:,∴直線AB:y=x+3,∴M(-1,2);(3)連接OP,如圖所示:設P(t,-t2-2t+3),其中t<0,-t2-2t+3>0,由(1)(2)可得:OA=3,OB=3,△PAO的高為點P到y軸的距離,△PBO的高為點P到x軸的距離,∴=0.5×3×(-t)+0.5×3×(-t2-2t+3)-0.5×3×3=-0.5(t+0.5)2+3.375;∵,即拋物線的開口向下,∴當t=-0.5時,S最大,此時,點P(-0.5,3.75).6.如圖,二次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A(-1,0)和點B(0,2),圖象的對稱軸交x軸于點C,一次函數的圖象經過點B,C,與二次函數圖象的另一個交點為點D.,(1)求二次函數的解析式和一次函數的解析式;(2)求點D的坐標;(3)結合圖象,請直接寫出時,x的取值范圍:_____.【解析】解:(1)將點和點代入,得:,解得:,二次函數的解析式為.二次函數的對稱軸為直線,,一次函數的圖象經過點、,,解得,一次函數的解析式為.,(2)聯立二次函數的解析式和一次函數的解析式得:,解之得或,點D的坐標為,,(3)由圖象可知,當或時,有.7.平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A,B兩點,點A,B的坐標分別為(﹣3,0),(1,0),與y軸交于點C,點D為頂點.(1)求拋物線的解析式和tan∠DAC;(2)點E是直線AC下方的拋物線上一點,且S△ACE=2S△ACD,求點E的坐標;(3)如圖2,若點P是線段AC上的一個動點,∠DPQ=∠DAC,DP⊥DQ,則點P在線段AC上運動時,D點不變,Q點隨之運動.求當點P從點A運動到點C時,點Q運動的路徑長.【解析】解:(1)將A(﹣3,0),B(1,0)分別代入拋物線y=ax2+bx+3可得:,解得;∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3,,∴D(﹣1,4),C(0,3);∴AC=,DC=;∴tan∠DAC=.(2)如圖1所示,過E作EF//x軸交AC于點F,設點E(m,﹣m2﹣2m+3),直線AC的表達式為y=kx+n,將A(﹣3,0),C(0,3)分別代入y=kx+n可得:,解得,∴直線AC表達式為y=x+3,∴F(﹣m2﹣2m,﹣m2﹣2m+3),∴EF=m+m2+2m=m2+3m,∴S△ACE=(xC﹣xA)EF,∵S△ACD=AC•CD=3,∴S△ACE=(xC﹣xA)EF=2S△ACD=6,∴(m2+3m)=6,解得m1=1,m2=﹣4(舍),∴E(1,0).,(3)如圖2所示當點P與點A重合時,∵∠ADQ=∠DCA=90°,∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC,∴∠DAC=∠QDC,又∵∠DCA=∠DCQ=90°,∴△ADC∽△DQC,∴,∴,,當點P與點C重合時,∴∠Q'DC=∠ACD=90°,∴DQ'∥CQ,∵∠DAC=∠Q'P'D,∠Q'DP'=∠ACD=90°,∴△ADC∽△P'Q'D,∴,∴,∴DQ'=CQ,∴四邊形DQ'QC是平行四邊形,∴QQ'=CD=.8.已知,點,拋物線經過點,且與直線交于點,與軸交于點(異于原點).(1)填空:用含的代數式表示______;(2)若是直角三角形,求的值;(3)點是拋物線的頂點,連接與交于點,當點是三等分點時,求的值.【解析】(1)∵拋物線經過點B(1,1),∴1=−+b,∴b=1+,故答案為:;(2)∵,∴拋物線的解析式為:,令,則,解得,.∵點異于原點,∴點的坐標為.∴,∵,Q(a+1,0)∴,OQ2=,,∵是直角三角形,∴,即∴.(3)如圖,∵=−(x−)2+,∴點M(,),,設直線OM的解析式為y=kx,把M(,)代入得k==∴直線OM的解析式為y=x,當y=1時,x=,∴點N(,1),∵與直線AB交于點P,∴1=−x2+(1+)x,∴x1=1,x2=a,∴點P(a,1),∵點N是BP三等分點,∴BN=2PN,∴1−=2(−a),解得:a=1或.9.如圖,在坐標系中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2).拋物線的圖象過C點,交y軸于點E.(1)求拋物線的解析式;(2)在x軸上是否存在點P使得△BPC的周長最小,若存在,請求出點P坐標,若不存在,請說明理由;,(3)直線BC解析式為,若平移該拋物線的對稱軸所在直線l,當l移動到何處時,恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分?【解析】(1)解:(1)如圖1所示,過點C作CD⊥x軸于點D,則∠CAD+∠ACD=90°.∵∠AOB=90°∵∠OBA+∠OAB=90°,∵∠BAC=90°∴∠OAB+∠CAD=90°,∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD.在△AOB與△CDA中,∵,∴△AOB≌△CDA(ASA).∴CD=OA=1,AD=OB=2.∴OD=OA+AD=3.,∴C(3,1).∵點C(3,1)在拋物線yx2+bx﹣2上,∴1=×9+3b﹣2,解得:b=∴拋物線的解析式為:;(2)把x=0代入,得y=-2,∴點E坐標為(0,-2),∵B(0,2),∴點B,E關于x軸對稱,連接EC交x軸于點P,則BP+PC最小即△BPC的周長最?。O直線CE解析式為,把點E(0,-2),C(3,1)代入解析式,得,解得,∴直線EC的解析式為y=x-2,,令y=0,解得x=2,∴P點坐標為(2,0);,(3)如圖2,設直線AC解析式為,把點A(1,0),C(3,1)代入解析式,得,解得,∴直線EC的解析式為,.如圖設直線l與BC、AC分別交于點E、F,在△CEF中,EF邊上的高h=OD﹣x=3﹣x.由題意得:S△CEF=S△ABC,即EF•h=S△ABC.∴,整理得:(3﹣x)=3.解得x=3﹣或x=3+(不合題意,舍去).∴當直線l解析式為x=3﹣時,恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分.,10.把函數的圖象繞點旋轉180°,得到新函數的圖象,我們稱是關于點的相關函數,是圖象的對稱軸與軸交點坐標為.(1)若,時,的相關函數為______;(2)的值為______(用含的代數式表示);(3)若,當時,函數的最大值為,最小值為,且,求的解析式.【解析】(1)∵,,∴函數為:的頂點坐標為(1,-4),∴繞原點旋轉180°后的拋物線的頂點坐標為(-1,4),∴的相關函數為,即,故答案為:;(2):,頂點坐標為(,),頂點(,)圍繞點P(,0)旋轉180°的對稱點為(,),∴的相關函數為:,∴函數的對稱軸為:,,故答案為:;,(3)時,:,,對稱軸為直線,①當時,∴時,有最小值,時,有最大值,則,整理得:,無解;②當時,時,有最大值,時,有最小值,(舍去);③當時,時,有最大值,時,有最小值,,解得:(舍去)或,故:,故的解析式為.,11.已知函數,(為常數).(1)當時,①求此函數圖象與軸交點坐標.②當函數的值隨的增大而增大時,自變量的取值范圍為________.(2)若已知函數經過點(1,5),求的值,并直接寫出當時函數的取值范圍.(3)要使已知函數的取值范圍內同時含有和這四個值,直接寫出的取值范圍.【解析】(1)當時,①∵,∴把x=0代入得.∴此函數圖象與y軸交點坐標為(0,3).②當x≤時,配方得∵a=-1<0,對稱軸為直線x=-1,∴當x≤-1,y隨x的增大而增大,符合題意,當x>時,,配方得,∵a=1>0,對稱軸為直線x=1,∴當x≥1時,y隨x的增大而增大,符合題意,,綜上所述:當函數的值隨的增大而增大時,自變量的取值范圍為x≤或x≥1;(2)當k≥1時,把(1,5)代入,得,解得無實根.當k<1時,把(1,5)代入,得,解得(不合題意,舍去),.∴.∴當x=-2時,將x=-2代入得:y=-4,當-2<x≤0時,配方得∵a=1>0,對稱軸為直線x=2,∴當-2<x≤0時,8≤y<20,綜上所述:當-2≤x≤0時,y的取值范圍為或8≤y<20.(3)由題意可知,當k≤0時,函數圖像如圖所示,,則的最大值2k≥-2即可,解得k≥-1,∴-1≤k≤0,當0<k<2時,的最大值2k<4則當x>k時,的最小值<4即可,將x=k,y=4代入得解得(舍去),∴0<k<,當k≥2時,的最大值2k≥4,,如圖,此時在左邊的圖像上的最大值不小于4,符合題意,∴k≥2,綜上所述:≤k<或k≥2.12.如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,拋物線的頂點為M,對稱軸交x軸于E,點D在第一象限,且在拋物線的對稱軸上,DE=OC,DM=.(1)求拋物線的對稱軸方程;(2)若DA=DC,求拋物線的解析式;(3)在(2)的條件下,點P是拋物線對稱軸上的一個動點,若在直線BM上只存在一個點Q,使∠PQC=45°,求點P的坐標.【解析】(1)∵OC=c,DE=OC=c,點D在拋物線對稱軸上,∴點D縱坐標為c,,∵點M是拋物線頂點,∴點M的縱坐標為,則DM=c﹣(c﹣b2)=,;解得b=(舍去),或b=﹣,拋物線的對稱軸為直線x=﹣==5;(2)由(1)可知拋物線的表達式為y=x2﹣x+c,令y=x2﹣x+c=0,設A、B兩點橫坐標為xA、xB,則xA+xB=10,xAxB=4c,則AB===,在Rt中,AE=AB,DE=c,AD=DC=5,由勾股定理得:AD2=DE2+AE2,,25=c2+25﹣4c,化簡得:,解得c=4,故拋物線的表達式為y=x2﹣x+4;(3)如圖,連接PQ、PC、QC,作的外接圓K,連接KP、KC,過點K作y軸的垂線,交y軸于點F,交拋物線的對稱軸于點N,,設點K的坐標為(m,n),點P(5,t),∵∠PQC=45°,故∠PKC=90°,且PK=CK=QK,∵∠FKC+∠NKP=90°,∠NKP+∠NPK=90°,∴∠FKC=∠NPK,∴Rt≌Rt(AAS),∴CF=NK,PN=MK,∴4﹣n=5﹣m,t﹣n=m,∴n=m﹣1,t=2m﹣1,故點K的坐標為(m,m﹣1),點P的坐標為(5,2m﹣1).由拋物線的表達式知,頂點M的坐標為(5,﹣),點B的坐標為(8,0),由點B、M的坐標得,直線MB的表達式為y=x﹣6,設點Q的坐標為(r,r﹣6),由KC2=KQ2得,m2+(m﹣1﹣4)2=(m﹣r)2+(m﹣1﹣r+6)2,整理得:r2﹣(m+)r+20m=0,關于r的一元二次方程,∵直線BM上只存在一個點Q,r的解只有一個,,∴△=(m+)2﹣4××20m=0,解得m=5或,點P坐標(5,t),t=2m﹣1,當m=5時,t=9;當m=時,t=;故點P的坐標為(5,9)或(5,).
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