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    2021中考數學壓軸題專題訓練04和長度有關的最值(附解析)

    2021-09-141 9.99元 28頁 1.03 MB
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    和長度有關的最值1.如圖,一只螳螂在樹干的點處,發現它的正上方點處有一只小蟲子,螳螂想捕到這只蟲子,但又怕被發現,于是就繞到蟲子后面吃掉它,已知樹干的半徑為,,兩點的距離為,求螳螂爬行的最短距離(π取3).【解析】解:將圓柱形樹干的側面如圖所示展開,根據兩點之間線段最短,可得AB即為螳螂爬行的最短距離AF=2π×10≈60cm,BF=45cm∴cm答:螳螂爬行的最短距離為75cm.2.如圖,在△中,,的平分線交于;若,點為邊上的動點,求長度的最小值.【解析】解:由點P是AC上的動點,要使DP的長度最小,根據點到直線垂線段最短,,∴DP⊥AC,如圖所示:∵AD平分∠BAC,∠ABC=90°,∴BD=DP,∵BD=3,∴DP=3,即DP的最小值為3.3.如圖,是邊長為的等邊三角形,點為下方的一動點,.(1)若,求的長;(2)求點到的最大距離;(3)當線段的長度最大時,求四邊形的面積.【解析】是等邊三角形,又,;取的中點,連接:∠ACB=90°,AB=2,又點為下方的一動點,當時,點到的距離最大為連接為等邊三角形,.根據三角形三邊關系即共線時,最大,的最大長度為此時,四邊形的面積為.,4.已知拋物線與軸交于點,且.(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標;(2)若,均在該拋物線上,且,求點橫坐標的取值范圍;(3)點為拋物線在直線下方圖象上的一動點,當面積最大時,求點的坐標.【解析】解:(1)把代入,即,解得:,故拋物線的表達式為:,=則頂點.(2)由(1)知拋物線的對稱軸,所以點關于對稱點在拋物線上,∵∴的取值范圍為(3)令y=0,即=0,解得x1=1,x2=3,∴C(3,0)將點、的坐標代入一次函數表達式:得解得:∴直線的表達式為:,過點作軸的平行線交于點,設點,則點,∴則,∵,故有最大值,此時,,故點.5.某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型:直線同旁有兩個定點A、B,在直線上存在點P,使得PA十PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1,作點A關于直線的對稱點A',連接A'B,則A'B與直線的交點即為P,且PA+PB的最小值為A'B.請利用上述模型解決下列問題;(1)如圖2,ΔABC中,∠C=90°,E是AB的中點,P是BC邊上的一動點,作出點P,使得PA+PE的值最??;(2)如圖3,∠AOB=30°,M、N分別為OA、OB上一動點,若OP=5,求ΔPMN的周長的最小值.【解析】(1)作點A關于直線BC的對稱點,連接,交BC于P,如圖所示,點P即為所求;(2)作點P關于直線OA的對稱點,作點這P關于直線OB的對稱點,連接,分別交OA、OB于M、N,如圖:,根據“將軍飲馬問題”得到ΔPMN的周長的最小值為,由軸對稱的性質得:∠FOA=∠AOP,∠POB=∠GOB,OP=OF,OP=OG,∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30,OP=5,∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2,OF=OG=5,∴△FOG為邊長為5的等邊三角形,,答:ΔPMN的周長的最小值為.6.如圖,在平面直角坐標系中,、、,連接,點是軸上任意一點,連接,求的最小值.【解析】解:如圖,過點作的垂線,垂足為點,與軸交于點.,∵、、,∴,.∴為等腰直角三角形.∴.∴.∵,∴此時的值最小,最小值為的長.∵,,∴.∴的最小值為.7.如圖1,在平面直角坐標系中有長方形OABC,點,將長方形OABC沿AC折疊,使得點B落在點D處,CD邊交x軸于點E,.,(1)求點D的坐標;(2)如圖2,在直線AC以及y軸上是否分別存在點M,N,使得△EMN的周長最???如果存在,求出△EMN周長的最小值;如果不存在,請說明理由;(3)點P為y軸上一動點,作直線AP交直線CD于點Q,是否存在點P使得△CPQ為等腰三角形?如果存在,請求出∠OAP的度數;如果不存在,請說明理由.【解析】解:(1)∵四邊形AOCB是矩形,∴OC=AB=4,∵∠OAC=30°∴AC=2CO=8,AO=CO=4,∠CAB=60°,∵長方形OABC沿AC折疊,使得點B落在點D處,∴AD=AB=4,∠CAD=60°,∴∠DAO=30°,如圖1,過點D作DF⊥AO于F,,∵DF⊥AO,∠DAO=30°,∴DF=AD=2,AF=DF=2,∴OF=AO﹣AF=2,∴點D坐標(2,﹣2);(2)如圖2,過點E作y軸的對稱點G,過點E作AC的對稱點H,連接GH交y軸于點N,與AC交于M,即△EMN的周長最小值為GH,∵∠OAD=30°,AD=4,∠ADC=90°∴AE=,∴OE=,∵點G,點E關于y軸對稱,點E,點H關于AC對稱,∴點G(﹣,0),點H(,4)∴GH=,∴△EMN的周長最小值為8;,(3)存在點P使得△CPQ為等腰三角形,∵∠ACB=∠ACD=30°,∴∠OCE=30°,①若CP=CQ,如圖3,∵CP=CQ,∠OCE=30°,∴∠CPQ=75°,∴∠OAP=90°﹣∠CPQ=15°,②若PQ=CQ時,如圖4,∵CQ=PQ,∴∠QPC=∠PCQ=30°,,∴∠OAP=90°﹣∠CPQ=60°;③若CP=PQ,如圖5,∴∠PCQ=∠PQC=30°,∴∠OPA=60°,且∠OCA=60°,∴不存在這樣的點P,綜上,滿足條件的點P存在,并且∠OAP=15º或60º.8.如圖1,直線分別與坐標軸交于點和點,點的坐標是.點是直線上的一個動點,以為邊在一側作正方(、、、四點始終為逆時針順序)(1)求直線的解析式;(2)當正方形的一個頂點恰好落在軸上時(點除外),求出對應的點的坐標;(3)如圖2,,且的兩邊分別交邊和于、兩點,連接,在點運動的過程中,當的周長最小時,直接寫出對應的點的坐標和周長的最小值.,【解析】(1)設直線解析式為,,兩點在直線上,,,∴的解析式:(2)正方形頂點落于軸上,且點橫坐標為2,點縱坐標為2,將,代入中,得.∴;當點在軸上時,同法可得;(3)將向左旋轉得到,,,,,三點一線,,,在和中,,,,周長,在點運動的過程中,的周長存在最小值.即讓最短即可,點到直線最短距離為垂線段長度,即即可,直線的斜率,設直線解析式為,直線經過點,代入點坐標得,直線解析式為,直線與的交點為(,),故點時,周長有最小值為8.9.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,E為BC上一點,且BE=1,∠AED=90°,將AED繞點E順時針旋轉得到,A′E交AD于P,D′E交CD于Q,連接PQ,當點Q與點C重合時,AED停止轉動.(1)求線段AD的長;,(2)當點P與點A不重合時,試判斷PQ與的位置關系,并說明理由;(3)求出從開始到停止,線段PQ的中點M所經過的路徑長.【解析】解:(1)∵AB=2,BE=1,∠B=90°,∴AE===,∵∠AED=90°,∴∠EAD+∠ADE=90°,∵矩形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∴∠BAE=∠ADE,∴△ABE∽△DEA,∴,∴,∴AD=5;(2)PQ∥A′D′,理由如下:∵,∠AED=90°,∴==2,∵AD=BC=5,∴EC=BC﹣BE=5﹣1=4,過點E作EF⊥AD于點F,則∠FEC=90°,∵∠A'ED'=∠AED=90°,∴∠PEF=∠CEQ,∵∠C=∠PFE=90°,∴△PEF∽△QEC,∴,∵,∴,∴PQ∥A′D′;(3)連接EM,作MN⊥AE于N,,由(2)知PQ∥A′D′,∴∠EPQ=∠A′=∠EAP,又∵△PEQ為直角三角形,M為PQ中點,∴PM=ME,∴∠EPQ=∠PEM,∵∠EPF=∠EAP+∠AEA′,∠NEM=∠PEM+∠AEA′∴∠EPF=∠NEM,又∵∠PFE=∠ENM﹣90°,∴△PEF∽△EMN,∴=為定值,又∵EF=AB=2,∴MN為定值,即M的軌跡為平行于AE的線段,∵M初始位置為AD中點,停止位置為DE中點,∴M的軌跡為△ADE的中位線,∴線段PQ的中點M所經過的路徑長==.10.如圖1,點C是線段上一點,將繞點C順時針旋轉90°得到,將繞點C旋轉,使點B,的對應點D落在上,連,,并延長交于點F.(1)求證:;(2)連接,猜想,,存在的等量關系,并證明你猜想的結論.(3)如圖2,延長到,使,將線段沿直線上下平移,平移后的線段記為,若,當的值最小時,請直接寫出的值.【解析】(1)證明:∵CA=CE,CD=CB,∴∴∵(對頂角相等)∴∴(2),,存在的等量關系為:過點C作于點M,作于點N,∵∴四邊形CMFN為矩形∵,,CA=CE∴∴CM=CN,AM=EN∴四邊形CMFN為正方形∴∵AM=EN∴∴(3)由題意可知,且∵∴,且∴四邊形為平行四邊形∴當的值最小時,即的值最小,∴點G在上運動時,根據將軍飲馬模型(或軸對稱的性質),若使,應作B關于的對稱點,連接,則過作于點H∴∴∴設∴,∴∴.11.如圖1,平面直角坐標系中,菱形的邊長為4,,對角線與的交點恰好在軸上,點是中點,直線交于.(1)點的坐標為__________;,(2)如圖1,在軸上有一動點,連接.請求出的最小值及相應的點的坐標;(3)如圖2,若點是直線上的一點,那么在直線上是否存在一點,使得以、、、為頂.點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】解:(1)如圖1中,四邊形是菱形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,直線的解析式為,直線的解析式為,,直線的解析式為,由,解得,.故答案為.(2)如圖中,過點作射線,使得,點點作于,過點作于.,,,,直線的解析式為,,直線的解析式為,由,解得,,,,在中,,,,,,的最小值為,此時點的坐標為.(3)如圖2中,過點作交于,連接,.是等邊三角形,,,,,,,,四邊形是平行四邊形,當點與重合時,四邊形是平行四邊形,此時,根據對稱性可知,當點與關于點對稱時,四邊形是平行四邊形,此時,,綜上所述,滿足條件的點的坐標為或,.12.如圖1,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點,與y,軸交于點C.(1)求拋物線的函數表達式;(2)如圖2,CE∥x軸與拋物線相交于點E,點H是直線CE下方拋物線上的動點,過點H且與y軸平行的直線與BC,CE分別交于點F,G,試探究當點H運動到何處時,四邊形CHEF的面積最大,求點H的坐標及最大面積;(3)若點K為拋物線的頂點,點M(4,m)是該拋物線上的一點,在x軸,y軸上是否存在點P,Q,使四邊形PQKM的周長最小,若沒有,說明理由;若有,求出點P,Q的坐標.【解析】解:(1)∵點A(﹣1,0),B(5,0)在拋物線y=ax2+bx﹣5上,∴,解得,∴拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5,(2)設H(t,t2﹣4t﹣5),∵CE∥x軸,∴點E的縱坐標為﹣5,∵E在拋物線上,∴x2﹣4x﹣5=﹣5,,∴x=0(舍)或x=4,∴E(4,﹣5),∴CE=4,設直線BC的解析式為y=kx+c將B(5,0),C(0,﹣5)代入,得解得:∴直線BC的解析式為y=x﹣5,∴F(t,t﹣5),∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,∵CE∥x軸,HF∥y軸,∴CE⊥HF,∴S四邊形CHEF=CE•HF=﹣2(t﹣)2+,∵-2<0∴當t=時,S四邊形CHEF最大,最大值為∴H(,﹣);(3)如圖2,四邊形PQKM的周長=PM+PQ+QK+KM(其中KM為定值),∵K為拋物線的頂點,y=x2-4x-5=(x-2)2-9∴K(2,﹣9),∴K關于y軸的對稱點K′(﹣2,﹣9),∵M(4,m)在拋物線上,∴m=16-16-5=-5∴M(4,﹣5),∴點M關于x軸的對稱點M′(4,5),連接K′M′,分別交x軸于點P,交y軸于點Q∴此時PM=PM′,QK=QK′∴此時四邊形PQKM的周長=PM+PQ+QK+KM=PM′+PQ+QK′+KM=M′K′+KM,根據兩點之間線段最短,此時四邊形PQKM的周長最小設直線K′M′的解析式為y=ex+d將K′、M′的坐標代入,得,解得:∴直線K′M′的解析式為y=,當y=0時,解得x=;當x=0時,解得y=,∴P(,0),Q(0,﹣).
    2021中考數學壓軸題專題訓練04和長度有關的最值(附解析)
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